Series y Sucesiones

Sucesiones
Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.
 Ejemplos:







Serie:
Es la sumatoria de una sucesión
Ejemplos:




Tipos de series:
Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.
Series infinitas: el número de términos es ilimitado.
Series monótonas: son aquellas que mantienen una misma tendencia has el infinito
        Crecientes:   a1 < a2 < a3 <……< an (va aumentando término a término)
            Decreciente:  a1 > a2 > a3 >……> an   (va disminuyendo término a término)


Algunos tipos de series


Serie Geométrica:
Es aquella serie cuyo término de formación es:
donde:
a es una constante,
es la base
 

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para determinar el valor de la convergencia.

  

Si |r| > 1 la serie diverge.
























Serie Armónica:
Es aquella serie cuyo término de formación es:

Siempre diverge




Serie p:
Es aquella serie cuyo término de formación es:



Si p>1 la serie es convergente

Si p < 1 la serie es divergente



Propiedades  de las series:

       Si las series A=∑an y  B=∑bn convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series 
∑an +bn = A+B   y ∑can tambien convergen, como sumas.

      1.- ∑can= c∑an
      2.- ∑an +bn=∑an+∑bn
      3.- ∑an -bn=∑an-∑bn

Teorema de la Convergencia
Si la serie  es convergente, entonces   el limite en el infinito es igual a cero.




Criterio de la divergencia:

Si el limite no existe o distinto de cero, entonces la serie es divergente. Este criterio esta basado en el teorema de la convergencia. Si el limite llegara a dar cero el criterio no es concluyente puesto que el teorema dice que las series convergente siempre dan cero mas no lo contrario. Hay algunas series divergentes que su limite en el infinito es igual a cero, como es el caso de las serie armónica.














Ejercicios.
 




















Serie Telescópica o desplegable:
Es aquella serie cuyo término de formación se puede representar por de la siguiente manera:

De una ecuación compleja en el denominador se lleva a dos más sencillas, por varios métodos:
Si es un polinomio  por el proceso de fracción simple, si una función logarítmica por sus propiedades.

Suma parcial
Para la serie ∑an la n-esima suma parcial viene dada por:

Sn= a1+a2+a3+ ………+an
Si la sucesión  de parciales { Sn}  converge a S, se dirá que la ∑an converge. Donde S es la suma de la serie. Si  { Sn}  diverge la serie también lo hará.












Criterio de la integral
Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes.




Criterios de Comparación

Comparación Directa
La comparación directa es término a término y se aplican los   siguientes criterios:
               0≤an≤bn

1.- Si ∑b converge, entonces ∑a también converge
2.- Si ∑a diverge, entonces ∑b también diverge
Comparación en el límite

Donde ∑b es convergente o  divergente.
Criterios para la toma de decisón:
si   l =0       para b convergente entonces a también converge.
     l =     para b divergente entonces a también diverge.
     l= k       (es una constante) ´para b convergente o divergente, entonces a será  convergente o divergente.
Criterio de la razón o cociente:




Si l >1 o ∞ diverge
Si l < 1 converge
Si l=1 no concluye