Area y Volumen

 Cálculo de área

Area  bajo una curva.

Pasos a seguir para el cálculo del área bajo la curva



Entre dos curvas

Pasos a seguir para el cálculo del área entre dos curvas.

 Ejemplo:















Área

1.- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas  de f(x)=3x3-x2-10x   y  g(x)=-x2 +2x


2.- Calcular el área de la región limitada de x=3-y2  e  Y=X-1
3.- Calcular el área de la región acotada:
a) y= x2-6x  y el eje x

b) y= x2 +2x+1    y   y=2x+5

c) y= x2 -4x+3  y  y=  - x2 +2x+3

d) y = x2   y y=x3

e) y =3(x3 –x)  y el eje x

f) y=(x-1)2   y Y=x-1

4.- Calcular el área:
a) Y= x+1,  el eje x
b) y = 3-2x- x2. El eje x
c) y= x2 +2x+1    y  y=3x+3

Volumen de sólidos en revolución


 El volumen se encuentrar por la rotación de una figura plana (el área de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.  Hay tres métodos para encontrar este volumen dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido.


Cuadro comparativo de los métodos
                   Métodos

Características

Disco

Arandela

Capas
Figura
Sólida
Hueca
Sólida o hueca
Diferencial con respecto al eje de rotación

Perpendicular

Perpendicular

Paralelo
El diferencial esta acotado por
Una curva y el eje de rotación
Por dos curvas
Por dos curvas (incluso un eje de coordenadas)


1.- Método del disco

Es para figuras sólidas, por lo tanto el diferencial esta acotado por una y el eje de rotación, el diferencial es perpendicular al eje de rotación. Para este tipo de ejercicios es de vital importancia la contrucción correcta de las graficas ( eso fue explicado en el contenido anterior). La deducción de la fórmula:

Se rebanó la figura y se obtiene :

 
El volumen  de este disco es:   
V= A e
Donde:  A = área 
              e= espesor del disco.




         El espesor no sólo del disco sino también de los otros métodos es igual al diferencial.
         El área corresponde:
 
         El radio es la distancia que hay entre el eje de rotación y la figura.
 

Ejemplo:

Encontrar el volumen del sólido que se genera al rotar :


  1. Rota alrededor del eje x
  2. Rota alrededor de la recta x=4
 Solución

 2.- Método de la arandela
   Es para figuras huecas, por lo tanto el diferencial esta acotado por dos curvas.El deferencial es perpendicular al eje de rotación.




Radio exterior: distancia entre el eje de rotación y la parte extrna de la figura.
Radio interior: distancia entre el eje de rotación y la parte interior, cooresponiente al hueco.
Espesor:  es una variación de x.





 




3.- Métrodo de capas
     Este método establece que el diferencial es paralelo al eje de rotación, lo que indica que este no lo acota, sino la o las curvas. Es factible su uso en figuras huecas o sólidas.



Ejemplo








Cálculo de Volumen