Integración por partes

Integración por partes

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du   (se integra en ambos lados de la fórmula)

(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de  la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera

1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,

2.- En u deben ir  aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada  es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

Una de las reglas para   saber si  el procedimiento realizado es correcto  la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad.

 

Ejemplo

  

Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo  debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.

Ejemplo 2

  

 La  siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partes directamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al observar que la función exponencial en su exponente genera una derivada y que esta debe estar dentro de la integral. 

  

El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puesto que reaparece la original y debe despejarse como se demuestra a continuación: